Teorema del gradiente

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El teorema de gradiente, también conocido como el teorema fundamental de cálculo para integrales de línea, dice que una integral de línea de un campo de gradiente puede ser evaluada simplemente evaluando el campo escalar original en los puntos extremos de la curva. El teorema es una generalización del teorema fundamental de cálculo para cualquier curva en el plano o en el espacio (generalmente ${\displaystyle n}$-dimensional) más que sólo en la recta real.

Sea ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ una función continuamente diferenciable y ${\displaystyle \gamma }$ cualquier curva en ${\displaystyle U}$ que empieza en ${\displaystyle \mathbf {p} }$ y termina en ${\displaystyle \mathbf {q} }$ entonces

${\displaystyle \int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$

(donde ${\displaystyle \nabla \varphi }$ denota el campo vectorial gradiente de ${\displaystyle \varphi }$).

El teorema del gradiente implica que integrales de línea de campos gradientes son independientes de las trayectorias. En física, este teorema es una manera de definir una fuerza conservativa. Por colocar ${\displaystyle \varphi }$ como potencial, ${\displaystyle \nabla \varphi }$ es un campo conservativo. El trabajo hecho por fuerzas conservativas no depende del camino seguido por el objeto, sólo depende de los puntos extremos como la ecuación de arriba lo muestra.